Por que um problema simples é um dos buracos negros da matemática

"Mapa fractal de Collatz na vizinhança de uma reta real" - belo mas indecifrável, sobretudo para quem não conhece a matemática

Simples não significa fácil.

Da BBC -

E este problema, um dos buracos negros da matemática, é prova disso.

Ele começa dando muitas possibilidades de como chamá-lo: talvez a denominação mais comum seja conjectura de Collatz, em referência ao matemático alemão Lothar Collatz, o primeiro a propô-lo, em 1937.

Mas é possível encontrá-lo como conjectura de Ulam (pelo matemático polonês-americano Stanisław Marcin Ulam), problema de Kakutani (pelo matemático nipo-americano Shizuo Kakutani), conjectura de Thwaites (pelo acadêmico britânico Bryan Thwaites), algoritmo de Hasse (pelo matemático alemão Helmut Hasse) ou problema de Siracusa.

E não é tudo: a sequência em questão também pode ser chamada de números de granizo ou números maravilhosos.
O nome mais descritivo talvez seja conjectura de 3n + 1.

Simplicidade complexa

Mas não é isso que desafia os matemáticos: seja qual for o nome, continua sendo o problema impossível mais simples de todos.

Qualquer pessoa que saiba somar, dividir e multiplicar pode entender do que se trata, seguir a sequência de números e até tentar resolvê-lo.

Desde os anos 1930, contudo, ninguém conseguiu explicá-lo, prová-lo ou refutá-lo.

Em algum momento especulou-se que a conjectura pudesse ser uma estratégia soviética para distrair os cientistas.

Deste modo, antes de apresentar o problema, vale lembrar uma advertência de um dos matemáticos mais produtivos - e excêntricos - do século 20:

A matemática não está pronta para este tipo de problema (...) Absolutamente impossível."

Matemático húngaro Paul Erdős, sobre a conjectura de Collatz

Eis o problema:

Comece com um número natural inteiro qualquer (1, 2, 3, 4, 5...).

• Se o número é par, divida-o por 2
• Se é ímpar, multiplique-o por 3 e some 1

Depois aplique essas mesmas regras simples ao resultado.
Comecemos com 10, que é par.

10 ÷ 2 = 5, que é ímpar, então aplicamos a segunda regra.

5 x 3 = 15 + 1 = 16.

Como é par... 16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

Até aqui, simples.

O que torna o problema intrigante é que não importa com qual número comece, eventualmente sempre chegará a 4, que se converte em 2 e termina em 1.
Pelo menos é esse o caso com todos os números que foram testados, e já se tentou usar alguns quase absurdos.

Jason Davies, programador que faz excelentes visualizações de dados, criou um gráfico sobre a conjectura de Collatz: todos os números levam ao 1.

Supercomputadores fizeram o problema com números que vão até aproximadamente 5.764.607.500.000.000.000.

Todos eventualmente chegam a 2 ÷ 2 = 1.

Contudo, como os números são infinitos, isso não prova que esse seja o caso para todos os números naturais.

Mas como não se encontrou uma exceção, tampouco há provas de que não seja assim.

Outra questão é resolver o eterno por quê. Por que os números se comportam assim?

"Devo avisá-los que não tentem resolvê-lo na mente ou calculá-lo na parte de trás de um velho envelope."

Harold Scott Coxeter, geometrógrafo britânico, sobre a conjectura de Collatz

Granizo

O problema chega sempre ao mesmo ponto, não importa como.

A confusão é que na hora de resolvê-lo desenhando um algoritmo (sequência finita de regras, raciocínios ou operações que permite solucionar classes semelhantes de problemas), há pedras de gelo no caminho.

Como o granizo nas nuvens antes de cair, os números saltam de um lugar ao outro antes de chegar ao 4, 2, 1.

Uns mais e outros menos, sem sentido aparente.

Kunashmilovich - Creative Commons

Image caption Iterações necessárias para chegar a 4, 2, 1 para os números de 2 a 10.000.000

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A maior quantidade de escalas que faz um número inicial menor de 100 milhões para chegar a 4, 2, 1 é 986.

Mas enquanto a "viagem" é mais curta para os múltiplos de 2, outros levam mais tempo.

Um exemplo citado com frequência é a comparação entre os números 8.192 e 27.

O 8.192 leva 13 passos para chegar ao final aparentemente inescapável: 4, 2, 1.

O número 27 não apenas leva 111 passos para chegar, mas no caminho sobe até 9.232 antes de poder alcançar o 4, 2, 1.

A ausência de padrões dificulta ainda mais resolver uma conjectura já classificada como impossível.

Se o problema é quase impossível, vale a pena continuar tentando desvendá-lo?

Curioso e relevante?

Se o problema é tão difícil, e talvez impossível, vale a pena continuar tentando resolvê-lo?

"Quando passar dias ou semanas tentando, em vão, resolver um problema, pense no pobre Sísifo e em sua pedra", aconselhou o geometrógrafo Coxeter.

"Como (o matemático alemão) Felix Behrend diz ao final de seu livro, 'Sísifo e sua pedra são símbolos do homem e de sua eterna luta, incessante, inalcançável e, contudo, sempre triunfal. O que mais se pode pedir?'"

Poético, mas se isso não o convence sobre a importância de esclarecer esse mistério, recorramos aos especialistas do Mathematics Stack Exchange, site de perguntas e respostas para pessoas que estudam matemática em qualquer nível e profissionais de áreas relacionadas.

"Os matemáticos suspeitam que solucionar a conjectura de Collatz abrirá novos horizontes e desenvolverá novas e importantes técnicas na teoria dos números", disse Greg Muller.

"O problema de Collatz é suficientemente simples para que qualquer pessoa o entenda, e não se relaciona apenas com a teoria dos números, mas com problemas de decidibilidade, o caos e com fundamentos da matemática de computação. Melhor impossível", escreveu o usuário Matt.

"Outra razão é que, por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática. Eu mesmo soube de sua existência no ensino médio e não resisti a seu encanto", comentou Derek Jennings.

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